Основы дифференциальных уравнений
что не понимаем, почему она так эффективна в описании природы? Хевисайд как-то заметил:
"Стану ли я отказываться от обеда только потому, что не до конца понимаю процесс пищеварения?"
Примеры физических задач, приводящих к дифференциальным уравнениям. Начальные и граничные (краевые) условия.
Простейшие типы уравнений первого порядка, интегрируемых в квадратурах. Постановка задачи Коши для уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. Существование и единственность решения задачи Коши. Зависимость решения задачи Коши от начальных условий и параметров. Понятие об асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений. Уравнение, неразрешенное относительно производной.
Интегрируемые типы уравнений n-го порядка. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные уравнения n-го порядка и их свойства. Общее решение однородного уравнения. Общее решение неоднородного уравнения. Методы построения частного решения неоднородного уравнения (импульсная функция, метод вариации постоянных). Уравнения с постоянными коэффициентами.
Задача Коши для ДУ первого порядка с краевыми условиями первого рода. Теорема Пеано о разрешимости задачи Коши. Теоремы о единственности решения задачи Коши.
Первые интегралы. Существование и единственность решения задачи Коши. Общая теория систем линейных уравнений. Общее решение однородной системы линейных уравнений. Общее решение неоднородной системы уравнений. Построение частного решения неоднородной системы (импульсная матрица, метод вариации постоянных). Системы уравнений с постоянными коэффициентами.
Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая устойчивость решений систем дифференциальных уравнений. Устойчивость по Ляпунову решений систем с постоянными коэффициентами. Исследование устойчивости решения по первому приближению. Функция Ляпунова. Классификация точек покоя. Теорема Ляпунова об устойчивости. Теорема Четаева о неустойчивости.
Задача Штурма-Лиувилля. Свойства собственных функций и собственных значений. Теорема Стеклова
Краевая задача для неоднородного уравнения. Функция Грина.
Понятие разностной схемы. Сходимость, аппроксимация и устойчивость. Разностные схемы решения начальных и краевых задач.